\documentclass{article}
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\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  linewidth=0pt,
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  innerrightmargin=10pt,
  innertopmargin=10pt,
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]{zgraytheorem}{}
% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{6.6 习题}
\maketitle

\section*{6.6.1}

（1）自反性

定义$f(n)=n$的函数$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$
是从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的严格递增函数，使得
\begin{align*}
  a_n = a_{f(n)} = a_n \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}
由定义6.6.1 可知，此时$(a_n)_{n=0}^\infty$是$(a_n)_{n=0}^\infty$的一个子序列。

（2）传递性

因为$(b_n)_{n=0}^\infty$是$(a_n)_{n=0}^\infty$的子序列，
那么存在一个函数$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$
是从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的严格递增函数，使得
\begin{align*}
  b_n = a_{f(n)} \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}

因为$(c_n)_{n=0}^\infty$是$(b_n)_{n=0}^\infty$的子序列，
那么存在一个函数$g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$
是从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的严格递增函数，使得
\begin{align*}
  c_n = b_{g(n)} \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}

因为$f$的值域与$g$的定义域是同一个集合，我们可以把$g,f$复合，
得到函数$g \circ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，
该函数是从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的严格递增函数，使得
\begin{align*}
  c_n = a_{(g \circ f)(n)} \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}

由定义6.6.1 可知，此时$(c_n)_{n=0}^\infty$是$(a_n)_{n=0}^\infty$的子序列

\section*{6.6.2}

略

\section*{6.6.3}

证明存在性。这里采用的方法，是先构造出目标对象。
这里需要考察的是，构造的目标是否满足要求。
具体来说，对于本习题，需要确定构造的序列是存在的，并确定构造的序列的倒数是收敛于$0$的（习题6.6.5与本题类似）。

（1）证明序列的每一项都是存在的

归纳法证明。

$j=0$，因为序列$(a_n)_{n=0}^\infty$是无界的，所以肯定存在$|a_n| \geq 0$，取第一个满足要求的$n$即可。

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    $j=0$时，如果$a_{n_0}=0$，会导致错误，所以$b_0$应该是要限制为非零的。
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

归纳假设，$j-1$时，项是存在的。

$j$时，由于序列$(a_n)_{n=0}^\infty$是无界的，所以肯定存在$|a_n| \geq j$，此时满足条件的$n$至少有一个，
可以看做是一个集合，使用公理3.5（分类公理），可以得到所有元素都大于$n_{j-1}$的集合$A$，
取该集合的下确界作为$n_j$（这个下确界肯定是存在的，因为集合是有下界的。定理 5.5.9的推论）。

（2）$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}1/b_n$存在且等于$0$。

对任意$\epsilon > 0$，都存在$\epsilon \geq 1/j$（因为$1/j$递增且极限为$0$），
由$(b_n)_{n=0}^\infty$的构造方式，可知，取$n_j$时，$|b_j| = |a_{n_j}| \geq j$，
且由序列$(b_n)_{n=0}^\infty$是递增的，可知，当$n \geq n_j$时，$|b_n| \geq j$均成立，
于是$|1/b_n| \leq 1/j \leq \epsilon$对$n \geq n_j$均成立。

由$\epsilon$的任意性，可知，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}1/b_n$存在且等于$0$。

\section*{6.6.4}

\textbf{（a）$\Rightarrow$ （b）}

序列$(a_n)_{n=0}^\infty$收敛于$L$，
那么，对任意$\epsilon > 0$，存在$N \geq 0$，
使得$|a_n - L| \leq \epsilon$对$n \geq N$均成立。

由子序列的定义（定义 6.6.1）可知，
序列$(a_n)_{n=0}^\infty$的任意子序列$(b_n)_{n=0}^\infty$，
都会存在一个严格递增的函数$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$使得
\begin{align*}
  b_n = a_{f(n)} \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}
由$f$的定义可知$f(n) \geq n$，所以$n \geq N$时，$f(n) \geq N$，
所以$|b_n - L| = |a_{f(n)} - L | \leq \epsilon$对$n \geq N$均成立。
所以，序列$(b_n)_{n=0}^\infty$收敛于$L$。

由于$(b_n)_{n=0}^\infty$是任意的子序列，所以命题得证。

\textbf{（b）$\Rightarrow$ （a）}

由自反性 可知$(a_n)_{n=0}^\infty$也是$(a_n)_{n=0}^\infty$的子序列，
题设已经说明$(a_n)_{n=0}^\infty$收敛于$L$。

\section*{6.6.5}

\textbf{（a）$\Rightarrow$ （b）}

（1）证明序列的每一项都是存在的

归纳法证明。

$j=0$时，定义$a_{n_0}=a_0$。

归纳假设，$j-1$时，项是存在的。

$j$时，现在要证明$b_j:=a_{n_j}$是存在的。
由$L$是极限点，所以取$\epsilon = 1/j > 0$，对$N=n_{j-1}$（归纳假设，保证了$n_{j-1}$存在），
存在$n \geq N$使得$|a_n - L| \leq \epsilon$，满足该条件的$n$是一个非空集合，任取一个作为$n_j$。

（2）序列的收敛性

对任意实数$\epsilon > 0$，存在$1/j \leq \epsilon$（存在的原因是$1/j$收敛于$0$）。
通过序列$(a_{n_j})_{j=0}^\infty$的构造方式，
可知，只要证明存在$N, n = N$有$|a_n - L| \leq 1/j$，那么，就有$n > N$有$|a_n - L| < 1/j$，
即：$n \geq N$有$|a_n - L| \leq 1/j$。接下来只要证明这个$N$是存在的即可。
由构造方式可知$|a_{n_j} - L | \leq 1/j \leq \epsilon$，
所以，可取$N = n_j$，即$N$是存在的。


\textbf{（b）$\Rightarrow$ （a）}

设收敛于$L$的子序列是$(b_n)_{n=0}^\infty$，
因为是子序列，存在一个严格递增的函数$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$使得
\begin{align*}
  b_m = a_{f(n)} \text{对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立}
\end{align*}
（注意：这里为了讨论的方便，把子序列的下标改为$m$）
因为收敛于$L$，那么，对任意$\epsilon > 0$，存在$M \geq 0$，
$|b_m - L| \leq \epsilon$对$m \geq M$均成立，
因为$f$是严格递增的函数，且没有上界，
对每一个$N$，都存在$n$使得$f(n) \geq max(M, N)$，
因为$f(n) \geq M$，所以，
\begin{align*}
  |b_m - L|      & \leq \epsilon \\
  |a_{f(n)} - L| & \leq \epsilon
\end{align*}
由$\epsilon$的任意性，可知，$L$是$(a_n)_{n=0}^\infty$的极限点。

\end{document}